représentation temps-fréquence

Une représentation temps-fréquence trace un signal tel qu'il se déploie simultanément sur les deux axes : horizontal pour le temps, vertical pour la fréquence, avec la couleur ou la luminosité indiquant l'amplitude à chaque point. Contrairement à une simple trace d'oscilloscope qui ne montre que l'amplitude en fonction du temps, ou à un analyseur de spectre qui regroupe tout en bandes de fréquences, un tracé temps-fréquence révèle comment le contenu fréquentiel d'un signal change d'un instant à l'autre. C'est important car la plupart des signaux réels, de la parole aux retours radar en passant par les données de vibration, ne sont pas stationnaires. Ils contiennent des tonalités qui apparaissent et disparaissent, des fréquences qui balayent vers le haut ou vers le bas, et des transitoires qui ne durent que quelques millisecondes.

La représentation temps-fréquence la plus courante en pratique est le spectrogramme, construit à partir de la transformée de Fourier à court terme (STFT). La STFT divise le signal en fenêtres superposées de quelques millisecondes chacune, applique une fonction de fenêtre telle que Hamming ou Hann pour réduire les artefacts de bord, et calcule la transformée de Fourier discrète sur chaque fenêtre. L'amplitude de chaque bande de fréquence devient un pixel dans une grille 2D. Le choix de la longueur de la fenêtre est un compromis : des fenêtres plus courtes donnent une bonne résolution temporelle mais une mauvaise résolution fréquentielle ; des fenêtres plus longues font l'inverse. Une fenêtre de 10 ms sur un audio échantillonné à 44,1 kHz résout les fréquences à environ 100 Hz mais fige tout changement de tonalité plus rapide que 100 millisecondes.

Variantes et approches alternatives

Les transformées en ondelettes offrent une voie différente. Contrairement à la STFT, qui utilise la même largeur de fenêtre sur toutes les fréquences, une transformée en ondelettes continue utilise des fenêtres étroites aux hautes fréquences et des fenêtres larges aux basses fréquences. Cela correspond à la façon dont l'oreille entend : nous distinguons les changements de hauteur dans les basses sur des échelles de temps plus longues, mais nous remarquons de minuscules variations dans les aigus. Les ondelettes s'adaptent naturellement et ne nécessitent aucun choix arbitraire de largeur de fenêtre. Elles produisent des coefficients plutôt qu'une simple grille d'amplitude, et l'ondelette de Morlet est standard dans l'analyse audio et vibratoire. Le réassignement et le synchrosqueezing sont des astuces de post-traitement qui affinent les spectrogrammes en déplaçant l'énergie vers sa véritable fréquence instantanée plutôt que vers le centre d'une bande.

Les représentations temps-fréquence sont essentielles partout où le contenu fréquentiel d'un signal change pendant la mesure. En surveillance d'état, un défaut de roulement produit des impulsions à une fréquence spécifique ; observer leur croissance sur des jours ou des semaines nécessite la capacité de voir cette fréquence isolée du bruit de fond à mesure qu'elle se développe. En radio et radar, un signal chirp balaye les fréquences ; seul un tracé temps-fréquence montre clairement la pente et la durée. En traitement de la musique et de la parole, les formants dérivent continuellement ; un spectre statique à un moment donné ne vous dit rien sur le suivant. Les ingénieurs en qualité de l'énergie utilisent des spectrogrammes pour repérer les interharmoniques qui n'apparaissent que lorsqu'une charge particulière est activée.

Le terme reflète l'ancienne division du travail dans le monde du traitement du signal : on travaillait soit dans le domaine temporel (oscilloscopes, capture de formes d'onde) soit dans le domaine fréquentiel (analyseurs de spectre). Une représentation temps-fréquence refuse ce choix. Les mathématiques remontent aux travaux sur l'incertitude du signal dans les années 1940, mais les outils pratiques sont apparus après que les ordinateurs personnels ont rendu possible le calcul et l'affichage de milliers de FFT. Aujourd'hui, chaque instrument de mesure moderne, des oscilloscopes aux vibromètres portables, inclut le tracé de spectrogramme en standard.