Zeit-Frequenz-Darstellung

Eine Zeit-Frequenz-Darstellung zeigt ein Signal in seiner zeitlichen Entfaltung auf beiden Achsen gleichzeitig: horizontal die Zeit, vertikal die Frequenz, Farbe oder Helligkeit geben die Amplitude an jedem Punkt an. Im Gegensatz zu einer einfachen Oszilloskop-Kurve, die nur die Amplitude über die Zeit zeigt, oder einem Spektrum-Analyzer, der alles in Frequenzbereiche zusammenfasst, offenbart eine Zeit-Frequenz-Grafik, wie sich der Frequenzgehalt eines Signals von Moment zu Moment verändert. Das ist wichtig, weil die meisten realen Signale, von Sprache über Radar-Rückstrahlung bis zu Vibrationsdaten, nicht stationär sind. Sie enthalten Töne, die auf- und abtreten, Frequenzen, die nach oben oder unten wandern, und Übergangsvorgänge, die nur Millisekunden andauern.

Die gebräuchlichste Zeit-Frequenz-Darstellung in der Praxis ist das Spektrogramm, das aus der Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) aufgebaut wird. Die STFT unterteilt das Signal in überlappende Fenster von einigen Millisekunden Länge, wendet eine Fensterfunktion wie Hamming oder Hann an, um Artefakte an den Rändern zu reduzieren, und berechnet die diskrete Fourier-Transformation für jedes Fenster. Der Betrag jedes Frequenzbins wird zu einem Pixel in einem 2D-Gitter. Die Wahl der Fensterlänge ist ein Kompromiss: kürzere Fenster geben gute Zeitauflösung, aber schlechte Frequenzauflösung; längere Fenster verhalten sich umgekehrt. Ein 10-ms-Fenster bei Audio mit 44,1 kHz Abtastrate löst Frequenzen auf etwa 100 Hz auf, friert aber Tonänderungen schneller als 100 Millisekunden ein.

Varianten und alternative Verfahren

Wavelet-Transformationen bieten einen anderen Weg. Im Gegensatz zur STFT, die überall die gleiche Fensterbreite verwendet, nutzt die kontinuierliche Wavelet-Transformation schmale Fenster bei hohen Frequenzen und breite Fenster bei niedrigen Frequenzen. Das entspricht der Art, wie das Ohr hört: Tonänderungen im Bass unterscheiden wir über längere Zeiträume, aber kleine Schwankungen in der Höhe nehmen wir sofort wahr. Wavelets skalieren natürlich und erfordern keine willkürliche Wahl der Fensterbreite. Sie erzeugen Koeffizienten anstelle eines einfachen Magnitudengitters, und das Morlet-Wavelet ist Standard in Audio- und Schwingungsanalyse. Neuverteilung und Synchron-Quetschung sind Nachbearbeitungstricks, die Spektrogramme schärfen, indem sie Energie auf ihre wahre Momentanfrequenz statt auf einen Bin-Mittelpunkt verschieben.

Zeit-Frequenz-Darstellungen sind unverzichtbar überall dort, wo sich der Frequenzgehalt eines Signals während der Messung verschiebt. Bei der Zustandsüberwachung erzeugt ein Lagerdefekt Impulse bei einer bestimmten Frequenz; um deren Wachstum über Tage oder Wochen zu verfolgen, ist die Fähigkeit nötig, diese Frequenz isoliert vom Rauschpegel zu beobachten, während sie sich entwickelt. In Funk und Radar durchläuft ein Chirp-Signal verschiedene Frequenzen; nur eine Zeit-Frequenz-Grafik zeigt Steigung und Dauer deutlich. In der Musik- und Sprachverarbeitung wandern Formanten kontinuierlich; ein statisches Spektrum in einem Moment sagt nichts über den nächsten aus. Stromqualitäts-Ingenieure nutzen Spektrogramme, um Interharmonische zu erkennen, die nur auftreten, wenn eine bestimmte Last eingeschaltet wird.

Der Begriff spiegelt die frühere Arbeitsteilung der Signalverarbeitungswelt: man arbeitete entweder im Zeitbereich (Oszilloskope, Wellenformerfassung) oder im Frequenzbereich (Spektrum-Analyzer). Eine Zeit-Frequenz-Darstellung weigert sich, diese Wahl zu treffen. Die Mathematik geht auf Arbeiten zur Signalunschärfe in den 1940er Jahren zurück, aber die praktischen Werkzeuge entstanden erst, als Personal Computer es möglich machten, tausende FFTs zu berechnen und anzuzeigen. Heute ist die Spektrogramm-Darstellung in jedem modernen Messinstrument, von Oszilloskopen bis zu tragbaren Schwingungsmessgeräten, Standard.